Überspringen zu Hauptinhalt
Modellierung von Turbulenzen in CFD-Analysen

Turbulente Strömungen sind in Natur und Technik allgegenwärtig. Rohrströmungen, Strömungen um Gebäude, Flugzeuge, Seeschiffe und andere Fahrzeuge sind praktisch immer turbulent. Eine Strömung ist nur in genaueren Fällen laminar, wenn eine Strömung (1) sehr viskos, (2) sehr langsam ist oder (3) in mikroskopischen Längen auftritt. Typische Beispiele für laminare Strömungen sind Tinte in einem Druckkopf (mikroskopisch), ein Gletscher, der (sehr langsam) fließt, oder Gummi während der Herstellung (sehr viskos). Der wichtigste Parameter hier ist die Reynolds-Zahl Re=  ρUL/μ, in welcher ρ die Dichte, U die Geschwindigkeit, L eine charakteristische Längenskala und μ die Viskosität definiert sind. Einfach ausgedrückt bedeutet eine höhere Reynolds-Zahl eine turbulentere Strömung. Unterhalb einer situationsabhängigen kritischen Reynolds-Zahl ist eine Strömung laminar.

Turbulente Strömungen zeichnen sich durch instabile Wirbelströme aus, die auftauchen, auseinanderfallen und wieder verschwinden und somit die Flüssigkeit ständig bewegen. Turbulente Strömungen sind daher immer instabil. Die turbulenten Wirbelströme zerfallen in immer kleinere Wirbelströme, bis die kinetische Energie durch viskose Dissipation abgeführt wird. Die Längenskala dieser kleinsten Wirbelströme, der sogenannten Kolmogorov-Längenskala, ist oft sehr klein und liegt in der Größenordnung von Mikrometern.

Abbildung 1: Künstlerischer Eindruck einer turbulenten Strömung, aufgenommen von Leonardo da Vinci um 1510. Er skizzierte die Strömung aus einem Kanal in einem Wasserbad. Verschiedene Wirbeströmel unterschiedlicher Länge sind deutlich zu beobachten.

Der Gleichungssystemsatz, der in einer Standard-CFD-Analyse gelöst wird, sind die Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) und die 3 „Navier-Stokes“-Gleichungen (Impulserhaltung in 3 Dimensionen). Es gibt also 4 Gleichungen für 4 unbekannte Variablen – den Druck und die Geschwindigkeit in 3 Dimensionen. Um diese Gleichungen vollständig numerisch zu lösen, ist auch eine korrekte Berechnung der Turbulenzen möglich. Dieser Ansatz wird als DNS (Direkte Numerische Simulation) bezeichnet. Die erforderliche Rechenleistung ist extrem hoch und ein DNS-Ansatz für industrielle Anwendungen ist nicht möglich. Die erforderliche Rechenleistung Re³ ist so skaliert, dass es unmöglich ist Flüsse mit hohen Reynolds-Zahlen zu berechnen. DNS wird jedoch häufig an Universitäten eingesetzt, um die Grundlagen turbulenter Strömungen zu untersuchen.

In industriellen Anwendungen machen wir ständig einen Kompromiss zwischen (1) einem korrekten physischen Ansatz und (2) dem verfügbaren Budget und den Rechenressourcen. In den meisten Fällen wird eine „stationäre“ Lösung berechnet, wodurch der Durchfluss zeitlich gemittelt wird. Hier treten Probleme auf: Wir versuchen eine instationäre, turbulente Strömung mit einer zeitlich gemittelten Methode zu lösen.

Für diese stationäre Lösung werden die Navier-Stokes-Gleichungen zeitlich gemittelt, was zu den RaNS-Gleichungen (Reynolds-averaged Navier-Stokes-Gleichungen) führt. Im mathematischen Prozess der Reynolds-Mittelwertbildung werden 6 neue Variablen erzeugt: die sogenannten Reynolds-Spannungen. Hier wird das grundlegende Problem der Lösung turbulenter Strömungen deutlich: Wir haben ein „Abschlussproblem“, mehr unbekannte Variablen als maßgebliche Gleichungen. Mathematisch können wir die RaNS-Gleichungen nicht lösen, da wir nicht genügend Gleichungen haben. Diese Gleichungen werden mit „Turbulenzmodellen“ modelliert.

Mit Turbulenzmodellen simulieren wir die Eigenschaften turbulenter Strömungen. Ein Turbulenzmodell ist daher immer eine Vereinfachung der Realität – oft nützlich, nie völlig korrekt, nicht selten völlig falsch. Das Wissen und die Erfahrung des CFD-Spezialisten sind für die Anwendung des Turbulenzmodells und die Bewertung der Ergebnisse von entscheidender Bedeutung.

Die vielen verschiedenen Turbulenzmodelle werden nach der Anzahl der zu lösenden partiellen Differentialgleichungen (PDG) kategorisiert. Die „Nullgleichungsmodelle“ sind simple arithmetische Korrelationen. Sie sind rechnerisch kostengünstig und werden selten verwendet, um endgültige Ergebnisse zu erzielen. „Ein-Gleichungs-Modelle“ wie das Spalart-Allmeras-Modell sind etwas teurer und werden in bestimmten Bereichen eingesetzt.

“Zwei-Gleichungs-Modelle” werden häufiger verwendet. Sie lösen 2 PDGs: eine für die turbulente kinetische Energie κ und eine für die Energiedissipation ϵ oder die spezifische Dissipation ω. Diese κ – ϵ und κ – ω Modelle haben sich im Laufe der Jahre bewährt und können nützliche Ergebnisse liefern. Als Mischung dieser Modelle hat das SST-Modell an Popularität gewonnen, da es versucht die Stärken beider zu kombinieren. Zahlenmäßig teurer sind die Reynolds-Spannungsmodelle, die die 6 Komponenten der Reynolds-Spannungen direkt lösen. Dieses Modell wird verwendet um komplexere Strömungen zu lösen, wie z. B. Strömungen, die Bereiche der Strömungstrennung, Verwirbelung oder Umwälzung vergrößern.

Ein völlig anderer Ansatz ist die Durchführung einer LES (Large Eddy Simulation). Die Turbulenz wird nicht vollständig wie in DNS berechnet, aber auch nicht vollständig gemittelt und modelliert, wie in RaNS. In einer transienten Simulation werden größere Wirbelströme berechnet und die kleineren Wirbelströme (Teilgitterlänge) modelliert. Für bestimmte Situationen ist LES eine nützliche Wahl. Die Rechenkosten liegen etwas zwischen DNS und RaNS.

Die Rechenleistung steigt weiter an. Die Turbulenzforschung ist aktiver denn je, und es werden große Anstrengungen unternommen, um numerische Methoden schneller und robuster zu machen. Es war erwartet worden, dass LES die RaNS-Methoden weitgehend ersetzen würde, aber bisher fand die große Umstellung noch nicht statt. Wer weiß, vielleicht ist DNS in ferner Zukunft der Standard, und unsere aktuellen Turbulenzmodelle gelten als völlig veraltet. In den kommenden Jahrzehnten werden RaNS und die verschiedenen Turbulenzmodelle der Goldstandard für viele praktische Anwendungen bleiben.

Abbildung 2: LES-Modell eines Durchmessersprungs.
An den Anfang scrollen